问题

若矩阵A满足 $A+A^{\rm{T}}=I$ ，则A可逆。

证明一

反证法。假设A不可逆，则

\exists{x_0}\ne0

，使得

A{x_0}=0

，则

{x_0}{A^{\rm{T}}} = {(A{x_0})^{\rm{T}}} = {0^{\rm{T}}}

$\therefore 0 \ne x_0^{\rm{T}}{x_0} = x_0^{\rm{T}}(A + {A^{\rm{T}}}){x_0} = x_0^{\rm{T}}A{x_0} + x_0^{\rm{T}}{A^{\rm{T}}}{x_0} = x_0^{\rm{T}}0 + {0^{\rm{T}}}{x_0} = 0$

矛盾，所以A可逆。

证明二

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